07 Oktober, 2012

Rumus-rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut


A.   Rumus-rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1.    Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Selanjutnya, perhatikanlah gambar di samping. Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan misalnya,

Dengan mengingat kembali tentang koordinat
Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)               
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)
AC = BD maka AC2 + DB2
{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sin A}2
cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos2 A +
sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A
2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B
2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Rumus cosinus jumlah dua sudut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Dengan cara yang sama, maka:
cos (A – B) = cos (A + (–B))
cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut:
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Untuk memahami penggunaan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, pelajarilah
contoh soal berikut.
Contoh soal:
Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan
cos (A – B).
Penyelesaian:
cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13
sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25
cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B
                   = 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25
                   = 35/325 − 288/325
                   = − 253/325
cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B
                   = 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25
                   = 35/325 + 288/325           
                   = 323/325
2.    Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Perhatikan rumus berikut ini.
Maka rumus sinus jumlah dua sudut:
Dengan cara yang sama, maka:
sin (A – B) = sin {A + (–B)}
                 = sin A cos (–B) + cos A sin (–B)
                 = sin A cos B – cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami tentang penggunaan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.
Contoh soal:
Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan
sin (A – B).
Penyelesaian:
cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
                  = 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
                  = –36/65 – 20/65
                  = – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
                  = 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13
                  = –36/65 + 20/65
                  = – 16/65
3.   Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus tangen jumlah dua sudut:



Pelajarilah contoh soal berikut agar kamu memahami penggunaan rumus tangen jumlah
dan selisih dua sudut.
Contoh soal:
Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.
Penyelesaian:
tan 105° = tan (60 + 45)°
              = tan 60° tan 45°
                 1 tan60 tan45  
             

10 komentar:

Ariel Aditya Permana mengatakan...

Blognya simple, tapi isinya memuaskan :)

Nur Rokhman mengatakan...

Makasih Mas Ariel

Ariel Aditya Permana mengatakan...

Gini pak, aku ingin tanggapanya. Menurut bapak soal yang aku buat ini bagaimana. tolong di kritik :)
ini soal aku buat ketika kelas 2 SMA. Dan disoal ini juga ada makna yang terkandung didalamnya.

soal : 1+2+3+4+5x0=....?? (jika di lisankan mungkin akan lebih menarik)

Nur Rokhman mengatakan...

Ini soal matematika apa tebak-tebakan?

Ariel Aditya Permana mengatakan...

Soal matematika pak :)

Nur Rokhman mengatakan...

Kalau boleh tahu apa maknanya?

Ariel Aditya Permana mengatakan...

Entah kenapa semua orang yang pernah aku tanyakan soal itu dengan yakin serta entengnya dan tanpa rasa ragu menjawab dengan tegas "nol" !
Menurutku tidak semua yang di anggap mudah itu mudah. Tidak semua yang terasa gampang itu gampang. Jadi berfikirlah sebelum bertindak, apapun keadaannya. Memang ternyata manusia itu melihat apa yang terlihat.

Coba tanyakan secara lisan kepada murid yang bapak ajar, dan dengar apa jawabannya :)

Nur Rokhman mengatakan...

Oh gitu ternyata matematika bisa untuk menilai karakter seseorang, masih banyak hal yang dapat digali dari matematika, bahkan sebentar lagi insyaalloh akan ada perubahan kurikulum yang memuat mata pelajaran pemersatu bangsa salah satu diantaranya adalah Matematika, apa hubungan matematika dengan persatuan bangsa ini?

Ariel Aditya Permana mengatakan...

Entah lah, selama aku belajar belum pernah tau ataupun dengar tentang hubungan matematika dengan persatuan bangsa ini. Bangsa ini terlalu rumit, menggunakan rumus pun terlalu sulit untuk menyelesaikan soal yang sudah ada dan semakin bertambah tiap harinya. Terlalu banyak pertanyaan timbang jawaban.

syarifah komala dewi mengatakan...

tolong tunjukin rumus Ctg(α-β) sama gambr nya pak ?

Poskan Komentar

Terima kasih telah berkunjung, silahkan beri komentar...

 
Design by Free WordPress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Themes | Lady Gaga, Salman Khan