Peluang Kejadian Majemuk

5. Peluang Kejadian Majemuk
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪  B ditentukan dengan aturan:

 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!
Penyelesaian:



S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6                                
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
               = 3/6 + 3/6  – 2/6 = 4/6 = 2/3
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3


Contoh:
Diambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge, tentukan peluang terambilnya kartu As atau kartu Hati!
Penyelesaian:n(S) = 52 (karena banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
              4
P(A) = ——
             52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
             13
P(B) = ——
             52                          
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan  Hati dalam1 set kartu bridge 1)
                   1
P(A∩B) = ——
                  52                                                 
                                                             4       13        1     16
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = —— + —— – —— =——
                                                            52      52        52   52        
                                                                                                 16        
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati  adalah ——
                                                                                                 52


b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0  atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
  P (A∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6                                
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
               = 3/6 + 3/6 = 1
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap adalah 1
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola kuning dan 1 bola biru. Akan diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola merah atau bola kuning!
Penyelesaian:
                         8!               8!              8 . 7!
n(S) = 8C1 = ————  = ————  = ——— =  8
                     1!(8- 1)!        1 . 7!            7!
Misal kejadian terambilnya kelereng merah adalah A, maka:
                              5!             5!                         n(A)         5          
    n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5,    P(A) = ——— = ——
                         1!(5 - 1)!       4!                         n(S)         8              
Misal kejadian terambilnya kelereng kuning adalah B, maka:
                              2!             2!                         n(B)         2            
    n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2,    P(B) = ——— = ——
                         1!(2 - 1)!       1!                         n(S)         8             
A∩B = {}  (Kejadian saling lepas)
                                           5           2         7
P(A∪ B) = P(A) + P(B) = ——  +  ——  = ——  
                                           8           8         8                    7 
Jadi peluang terambilnya bola merah atau bola kuning ——
                                                                                         8
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:

  P(A∩B) = P(A) × P(B)

Coba kamu pelajari contoh berikut untuk lebih memahami tentang kejadian saling bebas.
Contoh:
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua!
Penyelesaian: 
Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini adalah dua kejadian yang saling bebas
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, maka:
                                                                                                       6         1
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6  P(A) = —— = ——
                                                                                                      36        6
Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, maka:
                                                                                                        6         1
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6  P(B) = —— = ——      
                                                                                                       36        6

                                        1           1          1          
P(A∩B) = P(A) × P(B) =  ——  × ——  = —— 
                                        6           6         36         
                     
Jadi peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
                                 1
pada dadu kedua = ——
                                36
Contoh:Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!
Penyelesaian:Kotak A
                          8!               8!              8 . 7!
n(S) = 8C1 = ————  = ————  = ——— =  8
                     1!(8- 1)!        1 . 7!            7!
Misal kejadian terambilnya bola merah dari kotak A adalah A, maka:
                              5!             5!                         n(A)         5          
    n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5,    P(A) = ——— = ——
                         1!(5 - 1)!       4!                         n(S)         8  
Kotak B
                         7!               7!              7 . 6!
n(S) = 7C1 = ————  = ————  = ——— =  7
                     1!(7- 1)!        1 . 6!            6!           
Misal kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B adalah B, maka:
                              2!             2!                         n(B)         2            
    n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2,    P(B) = ——— = ——
                         1!(2 - 1)!       1!                         n(S)         7             
                                        5           2          5          
P(A∩B) = P(A) × P(B) =  ——  × ——  = —— 
                                        8           7         28 

6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
                  P(A∩B)      
 P(A/B) =  ————  P(B) ≠ 0
                    P(B)      
 
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
                  P(A∩B)      
 P(B/A) =  ————  P(A) ≠ 0
                    P(A)      

Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:                     
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, maka:
                   n(A)        5          
     P(A) = ——— = ——
                   n(S)        8  

Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, maka:
                    n(B/A)      4          
     P(B/A) = ——— = ——
                     n(S)        7 
                                            5           4          5          
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) =  ——  × ——  = —— 
                                            8           7         14       

Posted in: Peluang